Czy można policzyć poza nieskończoność?

Nieskończoność to dziwna koncepcja, którą ludzkiemu mózgowi trudno jest objąć swoim ograniczonym zrozumieniem. Mówimy, że wszechświat może być nieskończony, ale czy naprawdę może trwać wiecznie? Czy jest coś poza nieskończonością?

Aby stawić czoła tym oszałamiającym spekulacjom, matematyk Henry Towsner z University of Pennsylvania w Filadelfii, był na tyle uprzejmy, aby spróbować odpowiedzieć na pytanie: “Czy potrafisz liczyć poza nieskończoność?”

Nieskończoność to dziwny koncept, powiedział Towsner : Większość ludzi ma wrażenie, że mają jakąś intuicję na temat tej koncepcji, ale im więcej o niej myślą, tym dziwniej się robi.

Z drugiej strony matematycy rzadko myślą o nieskończoności jako o samym pojęciu – dodał. Raczej używają różnych sposobów myślenia o niej, aby zrozumieć jej wiele aspektów.

Na przykład istnieją różne rozmiary nieskończoności. Zostało to udowodnione przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku, zgodnie z historią z University of St Andrews w Szkocji.

Cantor wiedział, że liczby naturalne – czyli całkowite liczby dodatnie, takie jak 1, 4, 27, 56 i 15 687 – trwają wiecznie. Są nieskończone i są również tym, czego używamy do liczenia rzeczy, więc zdefiniował je jako “policzalne nieskończone”, zgodnie z pomocną stroną poświęconą historii, matematyce i innym tematom autorstwa edukacyjnego rysownika Charlesa Fishera Coopera.

Grupy policzalne nieskończonych liczb mają kilka interesujących właściwości. Na przykład liczby parzyste (2, 4, 6 itd.) są również policzalne nieskończone. I chociaż technicznie jest ich o połowę mniej niż tych, które obejmuje pełny zestaw liczb naturalnych, to wciąż są tego samego rodzaju nieskończonością.

Innymi słowy, możesz umieścić wszystkie liczby parzyste i wszystkie liczby naturalne obok siebie w dwóch kolumnach, a obie kolumny przejdą do nieskończoności i będą miały tę samą “długość” nieskończoności. Oznacza to, że połowa policzalnej nieskończoności to wciąż nieskończoność.

Ale wielki wgląd Cantora polegał na uświadomieniu sobie, że istnieją inne zbiory liczb, które były nieskończenie nieskończone. Liczby rzeczywiste – które obejmują liczby naturalne, a także ułamki i liczby niewymierne, takie jak pi – są bardziej nieskończone niż liczby naturalne.

Gdybyś ułożył wszystkie liczby naturalne i wszystkie liczby rzeczywiste obok siebie w dwóch kolumnach, liczby rzeczywiste rozciągnęłyby się poza nieskończoność liczb naturalnych. Cantor później oszalał, prawdopodobnie z powodów niezwiązanych z jego pracą nad nieskończonością, według Coopera.

Czym jest liczenie?

Wróćmy więc do kwestii liczenia po nieskończoności. “Matematyka sprawia, że ​​pytasz: Co to tak naprawdę oznacza?”- powiedział Towsner.

Aby zająć się tym problemem, Towsner opowiedział o liczbach porządkowych. W przeciwieństwie do liczebników głównych (1, 2, 3 itd.), które mówią, ile rzeczy jest w zbiorze, liczby porządkowe są definiowane przez ich pozycje (pierwsza, druga, trzecia itd.), a także zostały wprowadzone do matematyki przez Cantora, według witryny matematycznej Wolfram MathWorld.

W liczbach porządkowych istnieje pojęcie zwane omegą, oznaczane grecką literą ω, powiedział Towsner. Symbol ω definiuje się jako rzecz występującą po wszystkich innych liczbach naturalnych – lub, jak nazwał to Cantor, po pierwszej liczbie porządkowej pozaskończonej.

Ale jedną z rzeczy, jeśli chodzi o liczby, jest to, że na końcu zawsze można dodać kolejną, powiedział Towsner. Jest więc coś takiego jak ω + 1, ω + 2, a nawet ω + ω.

A ponieważ liczenie jest trochę jak dodawanie dodatkowych liczb, te pojęcia w pewnym sensie pozwalają liczyć po nieskończoności, powiedział Towsner.

Dodał, że dziwaczność tego wszystkiego jest jednym z powodów, dla których matematycy nalegają na rygorystyczne definiowanie ich terminów. O ile wszystko nie jest w porządku, trudno jest oddzielić naszą normalną ludzką intuicję od tego, co można udowodnić matematycznie.

“Matematyka mówi ci: Przyjrzyj się dokładnie, co się liczy?”- powiedział Towsner.

Dla nas, zwykłych śmiertelników, te pomysły mogą być trudne do zrozumienia. Jak zapaleni matematycy radzą sobie z tymi wszystkimi zabawnymi sprawami w swoich codziennych badaniach?

“Wiele z tego to praktyka” – powiedział Towsner. “Dzięki niej rozwijasz nowe intuicje”.

 

Źródła: Adam Mann / Live Science

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Cantor’s Diagonal Argument

Ordinal Number

First uncountable ordinal

Zdjęcia: iStock, Unsplash

 

Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x